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In Algebra Lineare, nel 90% dei casi, ti troverai di fronte a dover fare letteralmente i conti con le applicazioni lineari.

 

Considera la lezione che stai per leggere come un articolo propedeutico: qui ti daremo la definizione di applicazione lineare e ti proporremo alcuni esempi, ma non farti prendere dall'angoscia! L'importante, qui e ora, è che tu inizi a farti un'idea di cosa caratterizza le applicazioni lineari e di cosa le contraddistingue da quelle non lineari.

 
 
 

Cos'è un'applicazione lineare?

 

Cominciamo: immaginiamo di avere due spazi vettoriali , entrambi definiti su un campo , e supponiamo di avere un'applicazione o funzione

 

.

 

Un'applicazione tra spazi vettoriali si dice Con Bianco Con Sporco Logo Logo Logo Sporco Bianco Sporco Bianco Maglione Maglione Con Maglione lineare se soddisfa tre semplicissime condizioni (in realtà due, anzi...una sola, ma andiamo con ordine):

 

1) (lo zero nello zero). , ossia manda lo zero di nello zero di :

 

 

( indica il vettore nullo).

 

2) (Somma nella somma). Dati due vettori , l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini:

 

 

Maglione Logo Con Sporco Bianco Logo Maglione Logo Sporco Bianco Sporco Bianco Con Maglione Con 3) (Prodotto per uno scalare nel prodotto per uno scalare). Dato e dato uno scalare (elemento del campo ) , l'immagine del prodotto di per lo scalare è uguale al prodotto dello scalare per l'immagine

 

 

Osservazione: in realtà possiamo inglobare la condizione 1) nella condizione 3), per essere più sintetici. Infatti se risulta che

 

 

allora prendendo abbiamo , ossia .

 

Condizione di linearità

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Possiamo scrivere una definizione ancor più sintetica - dando per buono che tutto ciò di cui stiamo parlando abbia un senso, e ce l'ha eccome. Possiamo infatti riassumere le condizioni 1), 2), 3), o anche solo 2), 3) richiedendo che sia soddisfatta quella che chiameremo condizione di linearità:

 

per ogni e per ogni risulta che

 

 

Esempi di applicazioni lineari

 

Logo Logo Con Logo Maglione Bianco Con Sporco Sporco Maglione Bianco Maglione Bianco Con Sporco A) L'applicazione   data da

 

Maglione Bianco Con Con Logo Logo Sporco Maglione Con Sporco Bianco Sporco Logo Bianco Maglione

 

è lineare, infatti soddisfa la condizione di linearità: prendiamo e abbiamo che

 

 

 

 

 

e l'applicazione è lineare: tutto qui! :)

 

 

B) L'applicazione , definita da

 

 

è lineare, infatti dati e abbiamo che

 

 

 

C) L'applicazione data da non è lineare. Provare per credere!

 

 

D) Un altro esempio di applicazione non lineare è dato da  dove

 

 
Con Logo Maglione Maglione Sporco Bianco Bianco Con Logo Sporco Con Maglione Sporco Bianco Logo

Come verificare se un'applicazione è lineare

 

In termini pratici, per verificare se una data applicazione è lineare oppure no, si tratta semplicemente di controllare se essa soddisfa la condizione di linearità. Gli esercizi sono spesso meccanici e richiedono di utilizzare delle operazioni coinvolte: somma di vettori, prodotto di vettori per uno scalare, somma di matrici, prodotto di matrici per uno scalare, somma di polinomi, prodotto di un polinomi per uno scalare...

 

Non è possibile stabilire a priori un how-to o una guida iperdettagliata su tutti i possibili passaggi algebrici. Sfortunatamente vi sono moltissimi tipi di spazi vettoriali e di applicazioni che si possono considerare, ma fortunatamente il procedimento da seguire è sempre lo stesso.

 

Passo 1: bisogna vedere se vale la condizione di linearità, quindi si parte da

 

Bianco Logo Bianco Sporco Maglione Con Bianco Sporco Con Sporco Maglione Logo Con Maglione Logo  

Passo 2: si svolgono le varie operazioni algebriche, tenendo sempre ben presente dove si vuole arrivare...

 

Passo 3: si tentano eventuali raccoglimenti e riscritture che permettono di arrivare a

 

 

Cerchi esempi? Qui su YM ne puoi trovare a iosa, cercali con l'apposita barra. 

 

L'occhio clinico - riconoscere la linearità al volo

 

Dopo aver svolto un certo numero di esercizi, non dovremo continuare a fare conti su conti e a dimostrare, o confutare, la presupposta linearità di un'applicazione tra spazi vettoriali. Questo perché avremo sviluppato il cosidetto occhio clinico, o in termini meno metaforici saremo in grado di capire al volo se un'applicazione che ci viene data in pasto è lineare oppure no.

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Il punto è che un'applicazione è lineare se...è lineare, cioè se si comporta bene rispetto alla somma di vettori e al prodotto di vettori rispetto ad uno scalare. È possibile, con un pizzico d'esperienza, capire subito dalla definizione se un'assegnata applicazione conserva la somma divettori e il prodotto per scalari.

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Con un pochettino di pratica sarai in grado di guardare un elenco di applicazioni e dire subito se sono lineari o meno.

 

1) , -> è lineare.

 

Maglione Sporco Sporco Maglione Maglione Logo Con Bianco Bianco Con Sporco Con Logo Bianco Logo 2) definita dalla matrice

 

 

è lineare.

 

3) , -> NON è lineare.

 

Logo Maglione Con Con Maglione Sporco Bianco Sporco Logo Logo Con Bianco Bianco Sporco Maglione 4) , -> NON è lineare.

 

5) definita in modo tale che

Sporco Logo Maglione Maglione Con Maglione Bianco Con Logo Sporco Con Logo Sporco Bianco Bianco  

-> è lineare.

 

La morale è che un'applicazione è lineare se è definita mediante operazioni lineari: somma di variabili al primo grado, senza che siano sommate costanti.

 

 


 

Nulla di difficile, ragazzuoli! Ma in caso di dubbi o di domande, aprite pure una discussione nel Forum e cercate tra le migliaia di problemi che abbiamo già risolto e spiegato. 

 

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: definizione di applicazione lineare - come stabilire se un'applicazione è lineare o non lineare.

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