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In Algebra Lineare, nel 90% dei casi, ti troverai di fronte a dover fare letteralmente i conti con le applicazioni lineari.

 

Considera la lezione che stai per leggere come un articolo propedeutico: qui ti daremo la definizione di applicazione lineare e ti proporremo alcuni esempi, ma non farti prendere dall'angoscia! L'importante, qui e ora, è che tu inizi a farti un'idea di cosa caratterizza le applicazioni lineari e di cosa le contraddistingue da quelle non lineari.

 
 
 

Cos'è un'applicazione lineare?

 

Cominciamo: immaginiamo di avere due spazi vettoriali , entrambi definiti su un campo , e supponiamo di avere un'applicazione o funzione

 

.

 

Un'applicazione tra spazi vettoriali si dice Pantaloni Righe Sartoriali Laterali Lanvin A lineare se soddisfa tre semplicissime condizioni (in realtà due, anzi...una sola, ma andiamo con ordine):

 

1) (lo zero nello zero). , ossia manda lo zero di nello zero di :

 

 

( indica il vettore nullo).

 

2) (Somma nella somma). Dati due vettori , l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini:

 

 

Laterali Righe Pantaloni A Lanvin Sartoriali 3) (Prodotto per uno scalare nel prodotto per uno scalare). Dato e dato uno scalare (elemento del campo ) , l'immagine del prodotto di per lo scalare è uguale al prodotto dello scalare per l'immagine

 

 

Osservazione: in realtà possiamo inglobare la condizione 1) nella condizione 3), per essere più sintetici. Infatti se risulta che

 

 

allora prendendo abbiamo , ossia .

 

Condizione di linearità

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Possiamo scrivere una definizione ancor più sintetica - dando per buono che tutto ciò di cui stiamo parlando abbia un senso, e ce l'ha eccome. Possiamo infatti riassumere le condizioni 1), 2), 3), o anche solo 2), 3) richiedendo che sia soddisfatta quella che chiameremo condizione di linearità:

 

per ogni e per ogni risulta che

 

 

Esempi di applicazioni lineari

 

Pantaloni Lanvin A Sartoriali Righe Laterali A) L'applicazione   data da

 

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è lineare, infatti soddisfa la condizione di linearità: prendiamo e abbiamo che

 

 

 

 

 

e l'applicazione è lineare: tutto qui! :)

 

 

B) L'applicazione , definita da

 

 

è lineare, infatti dati e abbiamo che

 

 

 

C) L'applicazione data da non è lineare. Provare per credere!

 

 

D) Un altro esempio di applicazione non lineare è dato da  dove

 

 
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Come verificare se un'applicazione è lineare

 

In termini pratici, per verificare se una data applicazione è lineare oppure no, si tratta semplicemente di controllare se essa soddisfa la condizione di linearità. Gli esercizi sono spesso meccanici e richiedono di utilizzare delle operazioni coinvolte: somma di vettori, prodotto di vettori per uno scalare, somma di matrici, prodotto di matrici per uno scalare, somma di polinomi, prodotto di un polinomi per uno scalare...

 

Non è possibile stabilire a priori un how-to o una guida iperdettagliata su tutti i possibili passaggi algebrici. Sfortunatamente vi sono moltissimi tipi di spazi vettoriali e di applicazioni che si possono considerare, ma fortunatamente il procedimento da seguire è sempre lo stesso.

 

Passo 1: bisogna vedere se vale la condizione di linearità, quindi si parte da

 

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Passo 2: si svolgono le varie operazioni algebriche, tenendo sempre ben presente dove si vuole arrivare...

 

Passo 3: si tentano eventuali raccoglimenti e riscritture che permettono di arrivare a

 

 

Cerchi esempi? Qui su YM ne puoi trovare a iosa, cercali con l'apposita barra. 

 

L'occhio clinico - riconoscere la linearità al volo

 

Dopo aver svolto un certo numero di esercizi, non dovremo continuare a fare conti su conti e a dimostrare, o confutare, la presupposta linearità di un'applicazione tra spazi vettoriali. Questo perché avremo sviluppato il cosidetto occhio clinico, o in termini meno metaforici saremo in grado di capire al volo se un'applicazione che ci viene data in pasto è lineare oppure no.

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Il punto è che un'applicazione è lineare se...è lineare, cioè se si comporta bene rispetto alla somma di vettori e al prodotto di vettori rispetto ad uno scalare. È possibile, con un pizzico d'esperienza, capire subito dalla definizione se un'assegnata applicazione conserva la somma divettori e il prodotto per scalari.

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Con un pochettino di pratica sarai in grado di guardare un elenco di applicazioni e dire subito se sono lineari o meno.

 

1) , -> è lineare.

 

Laterali Pantaloni Sartoriali Righe Lanvin A 2) definita dalla matrice

 

 

è lineare.

 

3) , -> NON è lineare.

 

Lanvin Pantaloni Righe Sartoriali A Laterali 4) , -> NON è lineare.

 

5) definita in modo tale che

Laterali Pantaloni A Lanvin Sartoriali Righe  

-> è lineare.

 

La morale è che un'applicazione è lineare se è definita mediante operazioni lineari: somma di variabili al primo grado, senza che siano sommate costanti.

 

 


 

Nulla di difficile, ragazzuoli! Ma in caso di dubbi o di domande, aprite pure una discussione nel Forum e cercate tra le migliaia di problemi che abbiamo già risolto e spiegato. 

 

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: definizione di applicazione lineare - come stabilire se un'applicazione è lineare o non lineare.

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